极化恒等式(极化恒等式推导过程)
专栏
2024-05-05 07:52
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目录极化恒等式,极化恒等式推导过程?
推导如下
极化恒等式是联系内积与范数的一个重要的等式,是用范数表示内积的公式。设H是内积空间,‖·‖是由内积(·,·)导出的范数,下列等式常被称为极化恒等式:
当H是实空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖2/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖2);当H是复空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖2/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖2+i‖x+iy‖2/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgi‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgiy‖2)。
对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x,y)也分别有类似于上述的恒等式。
极化恒等式三种形式?
极化恒等式(polarization identity)是联系内积与范数的一个重要的等式,是用范数表示内积的公式。设H是内积空间,‖·‖是由内积(·,·)导出的范数,下列等式常被称为极化恒等式:当H是实空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖);当H是复空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖+i‖x+iy‖/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgi‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgiy‖)。对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x,y)也分别有类似于上述的恒等式。
极化恒等式名字由来?
极化恒等式(Polarization identity)的名字源于它与向量空间中的极性(Polarity)有关。极性是指一个向量空间中的每一个非零向量都有一个与之对应的极性,极性是一个双线性函数,它将每对向量映射到一个标量上。
中线长定理与极化恒等式的区别?
中线长定理和极化恒等式都是线性代数中的核心定理,但它们关注的方面略有不同。主要区别如下:
1. 定义对象不同:中线长定理讨论的是线性变换的不变量,而极化恒等式则讨论的是对称二次型和正定矩阵之间的关系。
2. 物理概念不同:中线长定理可以理解为“旋转变换不会改变向量的长度”, 侧重于说明相对欧几里得空间中线性变换的释义,是几何概念。而极化恒等式从内积的角度出发,描述了在实二次空间或欧几里得空间中,向量的模和方向相互独立,是纯数学概念。
3. 应用对象不同:中线长定理通常应用于计算几何中的问题 或 物理学中的粒子运动,而极化恒等式通常应用于计算正定矩阵的特征分解和线性规划问题等数学领域。
总之,中线长定理和极化恒等式都是极其重要的数学定理,但它们具有不同的应用背景和理论基础,适用于不同的数学领域和物理问题中,各具特色。
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极化恒等式,极化恒等式推导过程?
推导如下
极化恒等式是联系内积与范数的一个重要的等式,是用范数表示内积的公式。设H是内积空间,‖·‖是由内积(·,·)导出的范数,下列等式常被称为极化恒等式:
当H是实空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖2/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖2);当H是复空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖2/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖2+i‖x+iy‖2/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgi‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgiy‖2)。
对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x,y)也分别有类似于上述的恒等式。
极化恒等式三种形式?
极化恒等式(polarization identity)是联系内积与范数的一个重要的等式,是用范数表示内积的公式。设H是内积空间,‖·‖是由内积(·,·)导出的范数,下列等式常被称为极化恒等式:当H是实空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖);当H是复空间时,(x,y)=(1/4)(‖x+y‖/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpg‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgy‖+i‖x+iy‖/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgi‖x/uploads/title/20240107/659aa3294c09f.jpgiy‖)。对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x,y)也分别有类似于上述的恒等式。
极化恒等式名字由来?
极化恒等式(Polarization identity)的名字源于它与向量空间中的极性(Polarity)有关。极性是指一个向量空间中的每一个非零向量都有一个与之对应的极性,极性是一个双线性函数,它将每对向量映射到一个标量上。
中线长定理与极化恒等式的区别?
中线长定理和极化恒等式都是线性代数中的核心定理,但它们关注的方面略有不同。主要区别如下:
1. 定义对象不同:中线长定理讨论的是线性变换的不变量,而极化恒等式则讨论的是对称二次型和正定矩阵之间的关系。
2. 物理概念不同:中线长定理可以理解为“旋转变换不会改变向量的长度”, 侧重于说明相对欧几里得空间中线性变换的释义,是几何概念。而极化恒等式从内积的角度出发,描述了在实二次空间或欧几里得空间中,向量的模和方向相互独立,是纯数学概念。
3. 应用对象不同:中线长定理通常应用于计算几何中的问题 或 物理学中的粒子运动,而极化恒等式通常应用于计算正定矩阵的特征分解和线性规划问题等数学领域。
总之,中线长定理和极化恒等式都是极其重要的数学定理,但它们具有不同的应用背景和理论基础,适用于不同的数学领域和物理问题中,各具特色。
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