等差数列前n项和(等差数列前N项和的性质)
专栏
2024-05-03 06:02
317
目录等差数列前n项和,等差数列前N项和的性质?
前N项和的性质:
Sn是公差为d的等差数列{an}前n项的和。
1、(Sn/n)也是等差数列,公差为d/n;
2、Sm,S2m/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgSm,S3m/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgS2也是等差数列,公差为d•m^2;
3、an/bn=(S2n)/(T2n). (T2n是等差数列{bn}的前n项和)。
等差数列前n项和为sn?
等差数列前N项和公式S=(a1+An)N/2 ,等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……(2n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)。等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。
等差数列前n项求和公式?
等差数列的通项公式为:an=a1+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d
前n项和公式为:Sn=na1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (n属于自然数)。
a1为首项,an为末项,n为项数,d为等差数列的公差。
等比数列 an=a1×q^(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1);
求和:Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq) =(a1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgan×q)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq) (q≠1)
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1+an/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
等差数列前N项和公式?
前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意:以上n均属于正整数。
等差数列的应用日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。
基本性质
在等差数列中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b)。
记等差数列的前n项和为S。
1、若a >0,公差d<0,则当a ≥0且+1≤0时,S 最大;②若a<0 ,公差d>0,则当a ≤0且+1≥0时,S 最小。
2、若等差数列Sp=q,Sq=p,,则Sp+q=/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgp/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq,并且有ap=q,aq=p则ap+q=0。
等差数列前N项和求和公式?
设,a为首项,公差为d,前n项和为Sn
则
Sn=a+(a+d)+(a+2d)+……+{(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d+a}={(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d+a}+……+(a+2d)+(a+d)+a
所以
2Sn=【a+{(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d+a}】✘n
={(2a+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d}✘n
所以
等差数列前n项和公式为
Sn={(2a+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d}✘n/2
=na+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2
等比数列前n项和公式等差数列举例?
1.等差数列前n项和公式:
(1) Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2 2.等比数列前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=na1
(2)当q不等于1时, Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)或 Sn=(a1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgan*q)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
等差等比数列前n项和公式:等差数列和公式Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)/2 d;等比数列求和公式q≠1时,Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)=(a1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpganq)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q为等比)。
等差数列是常见数列的一种。如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
等比数列前n项和公式:Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)。
推导如下:
因为an=a1q^(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)
所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)(1)
qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)
(1)/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg(2)注意(1)式的第一项不变。
把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。
把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。
以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1项。
(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)
即Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)。
等比数列前N项和的性质
1、若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
2、在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”;
3、若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2;
4、按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列;
5、等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比;
6、若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数;
7、等比数列前n项之和Sn=A1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)=A1(q^n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)/(q/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)=(A1q^n)/(q/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgA1/(q/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)(8)数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意:上述公式中A^n表示A的n次方;
8、由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列前n项和函数特性
|an=a1.q^bai(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)
Sn=a1+a2+...+an
=a1(1+q+q^2+...+q^n)
=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
Note:(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)(1+q+q^2+...+q^n)=1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n
|q|<1
=lim(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg>∞)Sn
=lim(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg>∞)a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
=a1/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
前N项和与公差关系?
等差数列前n项和公式为:n*(n+1)*d/2
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等差数列前n项和,等差数列前N项和的性质?
前N项和的性质:
Sn是公差为d的等差数列{an}前n项的和。
1、(Sn/n)也是等差数列,公差为d/n;
2、Sm,S2m/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgSm,S3m/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgS2也是等差数列,公差为d•m^2;
3、an/bn=(S2n)/(T2n). (T2n是等差数列{bn}的前n项和)。
等差数列前n项和为sn?
等差数列前N项和公式S=(a1+An)N/2 ,等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……(2n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)。等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。
等差数列前n项求和公式?
等差数列的通项公式为:an=a1+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d
前n项和公式为:Sn=na1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (n属于自然数)。
a1为首项,an为末项,n为项数,d为等差数列的公差。
等比数列 an=a1×q^(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1);
求和:Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq) =(a1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgan×q)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq) (q≠1)
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1+an/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
等差数列前N项和公式?
前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意:以上n均属于正整数。
等差数列的应用日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。
基本性质
在等差数列中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b)。
记等差数列的前n项和为S。
1、若a >0,公差d<0,则当a ≥0且+1≤0时,S 最大;②若a<0 ,公差d>0,则当a ≤0且+1≥0时,S 最小。
2、若等差数列Sp=q,Sq=p,,则Sp+q=/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgp/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq,并且有ap=q,aq=p则ap+q=0。
等差数列前N项和求和公式?
设,a为首项,公差为d,前n项和为Sn
则
Sn=a+(a+d)+(a+2d)+……+{(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d+a}={(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d+a}+……+(a+2d)+(a+d)+a
所以
2Sn=【a+{(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d+a}】✘n
={(2a+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d}✘n
所以
等差数列前n项和公式为
Sn={(2a+(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d}✘n/2
=na+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2
等比数列前n项和公式等差数列举例?
1.等差数列前n项和公式:
(1) Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)d/2 2.等比数列前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=na1
(2)当q不等于1时, Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)或 Sn=(a1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgan*q)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
等差等比数列前n项和公式:等差数列和公式Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)/2 d;等比数列求和公式q≠1时,Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)=(a1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpganq)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q为等比)。
等差数列是常见数列的一种。如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
等比数列前n项和公式:Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)。
推导如下:
因为an=a1q^(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)
所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)(1)
qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)
(1)/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg(2)注意(1)式的第一项不变。
把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。
把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。
以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1项。
(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)
即Sn=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)。
等比数列前N项和的性质
1、若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
2、在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”;
3、若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2;
4、按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列;
5、等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比;
6、若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数;
7、等比数列前n项之和Sn=A1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)=A1(q^n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)/(q/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)=(A1q^n)/(q/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgA1/(q/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)(8)数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意:上述公式中A^n表示A的n次方;
8、由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列前n项和函数特性
|an=a1.q^bai(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg1)
Sn=a1+a2+...+an
=a1(1+q+q^2+...+q^n)
=a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
Note:(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)(1+q+q^2+...+q^n)=1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n
|q|<1
=lim(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg>∞)Sn
=lim(n/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpg>∞)a1(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq^n)/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
=a1/(1/uploads/title/20240109/659d6ad0a45f9.jpgq)
前N项和与公差关系?
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