三棱锥外接球(三棱锥内接球万能公式)
专栏
2024-05-01 11:32
51
目录三棱锥外接球,三棱锥内接球万能公式?
1、正三棱锥的外接球半径求法:
设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,
则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上.设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径.
(当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时,即角DAE小于90度时,球心在棱锥的内部;当线面角等于90度时,球心恰好在底面正三角形的中心M上;
当线面角大于90度时,球心在棱锥的外部,在棱锥高AM的延长线.下面我给出的解法是第一种情况,球心在棱锥的内部.另两种情况你自己可以照理推出.)
设AO=DO=R
则,DM=2/3DE=2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3
AM=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/3),
OM=AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgA0=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/3)/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgR
由DO^2=OM^2+DM^2得,
R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2)
2、内接球半径
同样是这个三棱锥.内接球的球心也一定在这个三棱锥的高上.设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做角AED的平分线交三棱锥的高AM于O,做OF垂直于AE,则0就是内接球的球心,OM=OF=r
AE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4)
FE=ME=1/3AM=6分之根号3倍的b,
AF=AE/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgFE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4)/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpg6分之根号3倍的b
AO=AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgr=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/3)/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgr
由AO^2=OF^2+AF^2得
r=[根号3倍b^2+3b倍根号(4a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2)]/12倍根号(3a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2)
三棱锥外接球的直径?
求三棱维外接球的直径即求半经,举例如下。
三棱锥外接圆与外接球的关系?
正三棱锥: 内切球的球心到各面的距离是相等的,球心和各面可以组成四个等高的三棱锥,那么内切球的半径R,乘以正三棱锥的表面积就等于它的体积。
外接圆的半径就等于三棱锥的高减去内切球的半径R。同样利用体积求法,高H是内切球的半径R的4倍。正三棱柱: 于柱体的体积等于底面积乘高.在这里,三棱柱及其外接圆柱与内切圆柱的高相等.. 其外接圆的半径为:R=(2/3)*m=a*[(根号3)/2](2/3)=a*(根号3)/3 其内切圆的半径为:r=(1/3)*m=a*[(根号3)/2](1/3)=a*(根号3)/6
外接球半径的算法?
1、正三棱锥的外接球半径求法: 设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b, 则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。
设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径。设AO=DO=R AE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4) AM=根号(11*a^2/12/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4) DO^2=(AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgAO)^2+MD^2, 即可求出R 2、内接球半径 同样是这个三棱锥。内接球的球心也一定在这个三棱锥的高上。设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做角AED的平分线交三棱锥的高AM于O,做OF垂直于AE,则O就是内接球的球心,OM=OF=r AE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4) EM=根号(3)/6 △AEM的面积的2倍=AE×r=EM×(AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgr), 所以r=[根号(2)a^2/6]÷[根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4+根号(3)*b*r/6] 四棱锥的外接球和内接球的半径,可参照上述方法求得! 如果我的答案对您有所帮助,请您选择我的答案为最佳答案,谢谢
三棱锥内接球与外接球的球心是同一个点吗?
圆心到四顶点距离相同,底ABC是直角三角形,AC中点D到A,B,C三点距离相同 所以到A,B,C三点距离相同的点的集合为过AC中点D,垂直于平面ABC的直线L 所以L,P,A共面,再就只用找出L上到PA距离相等的点为外心.即PA中垂线与L的交点,是PC的中点内接球心满足:到四个平面的距离相等
侧棱垂直于底面的三棱锥外接球?
三棱柱的侧棱垂直于底面说明是直三棱柱,所有棱长都是a,则二底面是正三角形, 外接球心应在两个正三角形外心连线的中点,球心和上下三顶点组成两个正三棱锥,棱锥高为a/2, 设正三棱柱为ABC/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgA1B1C1,外接球心O,下底外心为O1,则AO1=(a√3/2)*2/3=√3a/3, OO1=a/2, 根据勾股定理, 球半径R=√(OO1^2+AO1^2)=√21a/6, ∴球的表面积=4πR^2=7πa^2/3.
三棱锥外接球表面积公式?
正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是正三角形.而正三棱锥仅底面是正三角形,侧面是三个全等的等腰三角形.因此要求正三棱锥外接球的表面积,应该知道底面边长和三棱锥的高(或侧棱长).设底面边长为a,三棱锥的高为h.可得底面的外接圆半径为√3a/3,进而在外接球的一个大圆中,设半径为r,由相交弦定理可得(√3a/3)²=h(2r/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgh),解得r=(a²/3+h²)/2h.
因此,正三棱锥外接球的表面积公式=4π[(a²/3+h²)/2h]²=π(a²/3+h²)²/h².
本站涵盖的内容、图片等数据系网络收集,部分未能与原作者取得联系。若涉及版权问题,请联系ynstorm@foxmail.com进行删除!
三棱锥外接球,三棱锥内接球万能公式?
1、正三棱锥的外接球半径求法:
设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,
则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上.设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径.
(当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时,即角DAE小于90度时,球心在棱锥的内部;当线面角等于90度时,球心恰好在底面正三角形的中心M上;
当线面角大于90度时,球心在棱锥的外部,在棱锥高AM的延长线.下面我给出的解法是第一种情况,球心在棱锥的内部.另两种情况你自己可以照理推出.)
设AO=DO=R
则,DM=2/3DE=2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3
AM=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/3),
OM=AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgA0=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/3)/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgR
由DO^2=OM^2+DM^2得,
R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2)
2、内接球半径
同样是这个三棱锥.内接球的球心也一定在这个三棱锥的高上.设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做角AED的平分线交三棱锥的高AM于O,做OF垂直于AE,则0就是内接球的球心,OM=OF=r
AE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4)
FE=ME=1/3AM=6分之根号3倍的b,
AF=AE/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgFE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4)/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpg6分之根号3倍的b
AO=AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgr=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/3)/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgr
由AO^2=OF^2+AF^2得
r=[根号3倍b^2+3b倍根号(4a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2)]/12倍根号(3a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2)
三棱锥外接球的直径?
求三棱维外接球的直径即求半经,举例如下。
三棱锥外接圆与外接球的关系?
正三棱锥: 内切球的球心到各面的距离是相等的,球心和各面可以组成四个等高的三棱锥,那么内切球的半径R,乘以正三棱锥的表面积就等于它的体积。
外接圆的半径就等于三棱锥的高减去内切球的半径R。同样利用体积求法,高H是内切球的半径R的4倍。正三棱柱: 于柱体的体积等于底面积乘高.在这里,三棱柱及其外接圆柱与内切圆柱的高相等.. 其外接圆的半径为:R=(2/3)*m=a*[(根号3)/2](2/3)=a*(根号3)/3 其内切圆的半径为:r=(1/3)*m=a*[(根号3)/2](1/3)=a*(根号3)/6
外接球半径的算法?
1、正三棱锥的外接球半径求法: 设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b, 则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。
设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径。设AO=DO=R AE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4) AM=根号(11*a^2/12/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4) DO^2=(AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgAO)^2+MD^2, 即可求出R 2、内接球半径 同样是这个三棱锥。内接球的球心也一定在这个三棱锥的高上。设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做角AED的平分线交三棱锥的高AM于O,做OF垂直于AE,则O就是内接球的球心,OM=OF=r AE=根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4) EM=根号(3)/6 △AEM的面积的2倍=AE×r=EM×(AM/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgr), 所以r=[根号(2)a^2/6]÷[根号(a^2/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgb^2/4+根号(3)*b*r/6] 四棱锥的外接球和内接球的半径,可参照上述方法求得! 如果我的答案对您有所帮助,请您选择我的答案为最佳答案,谢谢
三棱锥内接球与外接球的球心是同一个点吗?
圆心到四顶点距离相同,底ABC是直角三角形,AC中点D到A,B,C三点距离相同 所以到A,B,C三点距离相同的点的集合为过AC中点D,垂直于平面ABC的直线L 所以L,P,A共面,再就只用找出L上到PA距离相等的点为外心.即PA中垂线与L的交点,是PC的中点内接球心满足:到四个平面的距离相等
侧棱垂直于底面的三棱锥外接球?
三棱柱的侧棱垂直于底面说明是直三棱柱,所有棱长都是a,则二底面是正三角形, 外接球心应在两个正三角形外心连线的中点,球心和上下三顶点组成两个正三棱锥,棱锥高为a/2, 设正三棱柱为ABC/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgA1B1C1,外接球心O,下底外心为O1,则AO1=(a√3/2)*2/3=√3a/3, OO1=a/2, 根据勾股定理, 球半径R=√(OO1^2+AO1^2)=√21a/6, ∴球的表面积=4πR^2=7πa^2/3.
三棱锥外接球表面积公式?
正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是正三角形.而正三棱锥仅底面是正三角形,侧面是三个全等的等腰三角形.因此要求正三棱锥外接球的表面积,应该知道底面边长和三棱锥的高(或侧棱长).设底面边长为a,三棱锥的高为h.可得底面的外接圆半径为√3a/3,进而在外接球的一个大圆中,设半径为r,由相交弦定理可得(√3a/3)²=h(2r/uploads/title/20231229/658eea8791e52.jpgh),解得r=(a²/3+h²)/2h.
因此,正三棱锥外接球的表面积公式=4π[(a²/3+h²)/2h]²=π(a²/3+h²)²/h².
本站涵盖的内容、图片等数据系网络收集,部分未能与原作者取得联系。若涉及版权问题,请联系ynstorm@foxmail.com进行删除!